Potenzsummen von ganzen Zahlen und Polynomen
Teilnehmer/innen
André Stenzel, Heinrich-Hertz-Oberschule
Christian Rekittke, Andreas-Oberschule
Jana Schulz, Andreas-Oberschule
Jannis Hessel, Herder-Oberschule
Konrad Steiner, Heinrich-Hertz-Oberschule
Pascal Gussmann, Heinrich-Hertz-Oberschule
Robert Altmann, Heinrich-Hertz-Oberschule
Gruppenleiter
Olaf Teschke, Humboldt-Universität zu Berlin
Die Gruppe beschäftigte sich mit klassischen zahlentheoretischen Problemen über den ganzen Zahlen und ihrer Variante über Polynomringen. Als Motivation wurde zunächst die scheinbar einfache Gleichung a+b = c betrachtet. Es stellte sich heraus, dass sich im Falle von komplexen Polynomen eine starke Aussage über die Anzahl der verschiedenen vorhandenen Nullstellen machen lässt (Satz von Mason), die weitgehende Folgerungen impliziert. So kann zum Beispiel elementar und elegant der “Satz von Fermat für Polynome” bewiesen werden.
Auf der Suche nach vergleichbaren Resultaten in Z stößt man auf die abc – Vermutung, aus der man ebenfalls die Unlösbarkeit einer Reihe von bekannten Gleichungen folgern könnte.
Danach wurde das Problem der Darstellbarkeit von Zahlen und Polynomen als Summen von Potenzen untersucht. Mit klassischen Methoden wurden der zwei-Quadrate-Satz und der vier-Quadrate-Satz von Lagrange bewiesen und das analoge Problem für höhere Potenzen (Waring-Problem) diskutiert.
Für Polynome stellt sich heraus, dass dieses Problem eine anschauliche geometrische Interpretation besitzt und auf eine Frage über Sekantenvarietäten zurückgeführt werden kann. Eine Dimensionsbestimm-ung liefert dann ein umfassendes Resultat.
Einen ausführlichen Bericht finden Sie hier.
